Statistiek - Inleiding: verschil tussen versies

Uit De Vliegende Brigade
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
 
(16 tussenliggende versies door dezelfde gebruiker niet weergegeven)
Regel 60: Regel 60:
 
De uitkomst van een kansexperiment wordt een ''gebeurtenis'' genoemd. Daarnaast kent het nogal wat andere namen:
 
De uitkomst van een kansexperiment wordt een ''gebeurtenis'' genoemd. Daarnaast kent het nogal wat andere namen:
  
 +
* Alternatief [https://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling]
 
* Bemonstering
 
* Bemonstering
 
* Event [https://en.wikipedia.org/wiki/Event_(probability_theory)]
 
* Event [https://en.wikipedia.org/wiki/Event_(probability_theory)]
Regel 72: Regel 73:
 
* Staal
 
* Staal
 
* Steekproef
 
* Steekproef
 +
* Steekproefuitkomst
 
* Test
 
* Test
 
* Trial.
 
* Trial.
  
−
Daarnaast wordt met ''gebeurtenis'' deelverzamelingen van de uitkomstenruimte bedoeld. Dus iets dat losstaat van eigenlijke realisatie ofzo [https://nl.wikipedia.org/wiki/Gebeurtenis_(kansrekening)].
+
Daarnaast wordt met de term ''gebeurtenis'' de deelverzamelingen van de uitkomstenruimte bedoeld. Dus iets dat losstaat van eigenlijke realisatie ofzo [https://nl.wikipedia.org/wiki/Gebeurtenis_(kansrekening)].
  
 
== Toeval, causualiteit & modelvorming ==
 
== Toeval, causualiteit & modelvorming ==
Regel 100: Regel 102:
  
 
Met <code>x</code> wordt de stochastische variabele in het algemeen bedoeld, terwijl met <code>X</code> een gerealiseerde waarde bedoeld wordt.
 
Met <code>x</code> wordt de stochastische variabele in het algemeen bedoeld, terwijl met <code>X</code> een gerealiseerde waarde bedoeld wordt.
 +
 +
De kansfunctie ''p<sub>x'' of ''p<sub>x</sub>(x)'' van het werpen met een zuivere dobbelsteen is bv. gegeven door:
 +
 +
:p<sub>x</sub>(1) = P(X=1) = 1/6
 +
:p<sub>x</sub>(2) = P(X=2) = 1/6
 +
:p<sub>x</sub>(3) = P(X=3) = 1/6
 +
:p<sub>x</sub>(4) = P(X=4) = 1/6
 +
:p<sub>x</sub>(5) = P(X=5) = 1/6
 +
:p<sub>x</sub>(6) = P(X=6) = 1/6.
 +
 +
Merk op dat een kansfunctie zoals ''p<sub>x'' anders is dan een gewone wiskundige functie, omdat bij kansfuncties geen sprake is van een bepaalde input. Daarnaast is de 'output' een kans dat de input had kunnen optreden, en niet een bewerking op de input.
  
 
== Voorbeeld - Tossen ==
 
== Voorbeeld - Tossen ==
Regel 154: Regel 167:
 
:p<sub>x</sub>(6) = P(X=6) = 1/6.
 
:p<sub>x</sub>(6) = P(X=6) = 1/6.
  
−
Merk op dat een kansfunctie zoals ''p<sub>x'' anders is dan een gewone wiskundige functie, omdat bij kansfuncties geen sprake is van een bepaalde input. Daarnaast is de 'output' een kans dat de input had kunnen optreden, en niet een bewerking op de input.
+
De ''verwachtingswaarde'' is de sommatie van alle uitkomsten * de waarde van die uitkomst:
−
 
 
−
De ''verwachtingswaarde'' is in dit geval de sommatie van alle uitkomsten * de waarde van die uitkomst:
 
  
 
:E(X) = sigma_over<sub>x</sub> x * p<sub>x</sub>(x)
 
:E(X) = sigma_over<sub>x</sub> x * p<sub>x</sub>(x)
 
:    = 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + ... + 6*P(X=6) = 3,5
 
:    = 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + ... + 6*P(X=6) = 3,5
−
 
−
== Het probleem: 100 steekproeven zonder success. Wat nu? ==
 
−
 
−
De verwachtingswaarde gaat uit van een oneindig aantal ''steekproeven'', maar in de praktijk is het aantal trials beperkt. Wellicht is dit de fantastische wereld van ''utiliteitswaarde'', ''expected value of sample information'', etc.
 
−
 
−
''' Simpel AdWords-voorbeeld '''
 
−
 
−
* Een conversie is € 20 waard
 
−
* Een klik kost € 1
 
−
* 100 Klikken op rij hebben geen conversie opgeleverd
 
−
* Kosten van de trials: € 100. Opbrengst: € 0. Resultaat: € -100
 
−
* P(X=0) = 100%
 
−
* P(X=1) = 0%
 
−
* De verwachtingswaarde van deze kansfunctie is 0.
 
−
* Als er geen rekening wordt gehouden met het eindige aantal trials, is de conclusie simpel: Stoppen.
 
−
 
−
''' Conversie op de 101e trial '''
 
−
 
−
Maar nu vindt er een conversie plaats op de 101e trial. Nieuwe gegevens:
 
−
 
−
* 101 Klikken op rij
 
−
* Kosten: € 101
 
−
* Verwachtingswaarde: 1/101 * € 20 = 0,01 * € 20 = € 0,20
 
−
* P(X=0) = 99%
 
−
* P(X=1) = 1%
 
−
* Kosten: € 101. Opbrengst: € 20. Resultaat: € -81
 
−
 
−
''' Conclusies tav. dit voorbeeld '''
 
−
 
−
* Deze ene conversie heeft niet de campagne gered. Het was waarschijnlijk niet de moeite waard om deze additionele trial te doen
 
−
* In de praktijk is het wijsheid om (bij afwezigheid van additionele gegevens) een campagne te pauzeren als er 100 trials zijn geweest zonder ook maar één conversie, en waarbij een komende conversie niet in één keer de campagne redt
 
−
* Voor een degelijker antwoord moet je met zekerheidsintervallen aan de slag.
 
−
 
−
== Variantie ==
 
−
 
−
* ''Variantie'' is een maat van de spreiding van de uitkomsten van een experiment
 
−
* Het is een maat van de onderlinge afwijking tussen ''uitkomsten'' of ''waarden''
 
−
* Het is een maat voor de afwijkingen tav. de gemiddelde uitkomst
 
−
* Min-of-meer: Gemiddelde van het kwadraat van de afwijkingen
 
−
* Tav. waarden van een populatie, spreekt men van ''populatievariantie'', σ<sup>2</sup>
 
−
* Tav. uitkomsten van een steekproef, spreekt met van ''steekproefvariantie'', ''s<sup>2</sup>
 
−
* Tav. waarden van een verdeling, spreekt met gewoon van ''variantie''
 
−
* De wortel van de ''steekproefvariantie'', is de ''standaardafwijking'' σ (''sigma'').
 
−
 
−
De formule ziet er vaak heftiger uit dan-ie is:
 
−
 
−
:σ^2 = (1/N) sommatie (i=1 → N) (''x''<sub>i</sub>-&mu;)<sup>2</sup>
 
−
 
−
=== Voorbeeld: Kop of munt (1) ===
 
−
 
−
* Observaties: {1,0,0,1,1}
 
−
* N=5
 
−
* &mu; = 3/5 = 0,6
 
−
 
−
Variantie:
 
−
 
−
:&sigma;<sup>2</sup> = (1/5) * {(1-0,6)<sup>2</sup> + (0-0,6)<sup>2</sup> + (0-0,6)<sup>2</sup> + (1-0,6)<sup>2</sup> + (1-0,6)<sup>2</sup>} <=>
 
−
:&sigma;<sup>2</sup> = (1/5) * {0,16 + 0,36 + 0,36 + 0,16 + 0,16)} <=>
 
−
:&sigma;<sup>2</sup> = (1/5) * {1,2} <=>
 
−
:&sigma;<sup>2</sup> = 0,24.
 
−
 
−
=== Voorbeeld: Kop of munt (2) ===
 
−
 
−
Voor een oneindige reeks (''N → ∞'') met een zuivere munt krijg je:
 
−
 
−
:&sigma;<sup>2</sup> = (1/2) * {(1-1/2)<sup>2</sup> + (0-1/2)<sup>2</sup>} <=>
 
−
:&sigma;<sup>2</sup> = (1/2) * {(1/2)<sup>2</sup> + (1/2)<sup>2</sup>} <=>
 
−
:&sigma;<sup>2</sup> = 1/4
 
−
 
−
Intuïtief: Er zijn twee mogelijke uitkomsten. Die wijken allebei een 1/2 af van het gemiddelde. Het kwadraat hiervan is 1/4.
 
−
 
−
=== Voorbeeld: Zuivere dobbelsteen ===
 
−
 
−
{|
 
−
|[[file:20171128-1440.png|thumb|Som van de kwadraten is '''17,5'''. De variantie is '''17,5/6 = 2,9167''']]
 
−
|}
 
−
 
−
== Standaarddeviatie ==
 
−
 
−
=== Van variantie naar standaarddeviatie ===
 
−
 
−
* ''Standaarddeviatie'' of ''standaardafwijking'' is de wortel van de ''variantie'', aangeduid met :&sigma;
 
−
* Vaak is het handig om de standaarddeviatie te gebruiken ipv. de variantie, omdat deze van dezelfde ordergrootte is, als die van de uitkomsten van het betreffende experiment
 
−
* Let op: Je kunt de standaardeviatie niet berekenen door in de formule voor de variantie links en rechts machtsverheffen weg te laten (omdat er tussentijds wordt opgeteld).
 
−
 
−
=== Spreiding ===
 
−
 
−
* Met ''spreiding'' wordt losjes bedoeld, de verschillen tussen de waarden die een stochastische variabele vertoont
 
−
* Op het moment dat met een ''spreiding'' een kwantitatieve grootheid wordt bedoeld, gaat het meestal om de ''standaardafwijking'' of ''standaarddeviatie''.
 
−
 
−
=== Maat voor de spreiding ===
 
−
 
−
{|
 
−
|[[file:20171128-1441.png|thumb|Hoe meer spreiding, hoe hoger de standaarddeviatie. Voor dobbelstenen met verschillende aantal zijdes: 6 zijden: '''&sigma;=1,71'''. 4 Zijden: '''&sigma;=1,12'''. 3 Zijden: '''&sigma;=0,81'''. 2 Zijden (=dobbelsteen): '''&sigma;=0,5''' ]]
 
−
|}
 
−
 
−
== Hypothese ==
 
−
 
−
Na de practische hoofdstukken hiervoor, nu weer terug naar de theorie, te beginnen met de begrippen ''toetsingstheorie'' en ''hypothese''.
 
−
 
−
De reden om statistiek te bedrijven binnen online adverteren, is vanwege ''statistische toetsingstheorie'': We hebben een bepaalde theorie, en die willen we statistisch toetsen. Hierbij wordt uitgegaan van één of meer ''hypothesen'' of ''veronderstellingen'' ten aanzien van een onderliggende kansverdeling. Qua hypothesen maken we daarbij onderscheid tussen de ''nulhypothese H<sub>0</sub>'' en de ''alternatieve hypothese H<sub>1</sub> of H<sub>A</sub>''. De nulhypothese gaat ervan uit dat het vermoede verband of effect ''niet bestaat''. H<sub>A</sub> gaat er van uit dat het gezochte effect wél bestaat. Met behulp van statistische toetsing proberen we theorie H<sub>A</sub> te bewijzen.
 
−
 
−
=== Voorbeeld: Verkoudheid bij mannen en vrouwen ===
 
−
 
−
* Theorie: Vrouwen zijn vaker verkouden dan mannen
 
−
* H<sub>0</sub>: Vrouwen zijn niet vaker verkouden dan mannen
 
−
* H<sub>A</sub>: Vrouwen zijn vaker verkouden dan mannen
 
−
 
−
Toetsing:
 
−
 
−
* Een steekproef wordt genomen van 1.000 willekeurige mannen en 1.000 willekeurige vrouwen. Hen wordt gevraagd hoe vaak zij het afgelopen jaar verkouden waren.
 
−
* Naarmate het aantal vrouwen dat vaker verkouden was dan mannen stijgt, wordt de nulhypothese minder aannemelijk. Uiteindelijk wordt de nulhypothese verworpen
 
−
* De kans dat de nulhypothese ten onrechte wordt verworden, is de ''onbetrouwbaarheid \alpha'' van de toets
 
−
* Het kan gebeuren dat de nulhypothese niet wordt verworpen, terwijl er wel degelijk een effectie is. De kans hierop wordt het ''onderscheidend vermogen \gamma'' genoemd
 
−
* Om iets zinnigs te zeggen over \alpha en \gamma, is het oa. nodig iets te weten over de onderliggende kansverdeling.
 
−
 
−
== Statistische toets - Voorbeeld gewogen dobbelsteen ==
 
−
 
−
Een dobbelaar vermoedt dat de '6' minder vaak valt dan te verwachten:
 
−
 
−
* De kans dat de '6' valt, wordt aangeduid met ''p''
 
−
* H<sub>0</sub>: p=1/6 - Dobbelsteen is eerlijk
 
−
* H<sub>1</sub>: p<1/6 - Kans dat de '6' valt, is minder dan 1/6
 
−
 
−
Toetsing middels 600 steekproeven en verschillende scenario's:
 
−
 
−
* Als de '6' 100 keer valt → H<sub>0</sub> bevestigd
 
−
* Als de '6' 98 of 99 keer valt → H<sub>0</sub> bevestigd
 
−
* Als de '6' slechts 0 of 1 keer valt → H<sub>0</sub> verworpen
 
−
 
−
=== '6' Valt 80 keer ===
 
−
 
−
Nu wordt het interessanter: De '6' valt 80 keer. Wat nu?
 
−
 
−
* Bij een eerlijke dobbelsteen, is de kans hierop slechts 1% (kun je zelf uitrekenen, schijnt)
 
−
* Hypothese H<sub>0</sub> kan met 99% zekerheid verworpen worden
 
−
* Er is echter een kans van 1% dat H<sub>0</sub> ten onrechte verworpen wordt: ''Fout van de eerste soort''
 
−
* Dus de ''onbetrouwbaarheid'' van de toetsing is hier 1%
 
−
 
−
=== Als max. 0,1% onbetrouwbaarheid wordt vereist? ===
 
−
 
−
* Dan wordt H<sub>0</sub> pas verworpen als de '6' 72 keer of minder valt
 
−
 
−
=== Als max. 0,5% onbetrouwbaarheid wordt vereist? ===
 
−
 
−
* Dat komt overeen met een zekerheidsinterval van 99,5%
 
−
* Dan wordt H<sub>0</sub> verworpen als de '6' 84 keer of minder valt.
 
−
 
−
=== Als de '6' in werkelijkheid 1/8 keer valt? ===
 
−
 
−
* Dan zou bij 600 steekproeven, de '6' naar verwachting 88 keer vallen ipv. 100 keer
 
−
* Naarmate de betrouwbaarheid minder belangrijk is, zal dit sneller gedetecteerd worden, maar wél met een grotere onzekerheid
 
−
* Bij een 99% zekerheidsinterval, is 80 al significant → Afwijking wordt gedetecteerd
 
−
* Bij een 99,9% zekerheidsinterval, is 72 pas een significant aantal → Afwijking wordt niet gedetecteerd
 
−
* Bij een 99,5% zekerheidsinterval, is 84 pas een significant getal → Afwijking wordt niet gedetecteerd
 
−
* Dit getal van 88%, heet het ''onderscheidend vermogen'' voor deze situatie.
 
−
 
−
== Dit voorbeeld geformaliseerd ==
 
−
 
−
=== Probleemstelling ===
 
−
 
−
De probleemstelling behelst de ''verdeling'' en de ''steekproef'':
 
−
 
−
* 600 Worpen met een dobbelsteen
 
−
* Aantal keer dat '6' wordt gegooid, noemen we ''X''
 
−
* Stochastische variabele ''X'' is B(600,p)-verdeeld, met onbekende parameter ''p''
 
−
 
−
=== Hypothesen ===
 
−
 
−
:H<sub>0</sub>: p = 1/6
 
−
:H<sub>1</sub>: p < 1/6
 
−
 
−
=== Toetsingsgrootheid ===
 
−
 
−
Als ''toetsingsgrootheid'' nemen we:
 
−
 
−
:T = X
 
−
 
−
=== Verdeling onder de nulhypothese ===
 
−
 
−
* Onder ''H<sub>0</sub>'' is ''T'' binomiaal verdeeld met parameters ''n=600'' en succeskans 1/6
 
−
* Omdat ''n'' zo groot is, kan deze verdeling beschouwd worden als een normale, met verwachting ''np=100'' en ''variantie np(1-p)=83,33'' en ''standaardafwijking = sqrt(83,33) = 9,13''.
 
−
 
−
=== Steekproefuitkomst ===
 
−
 
−
Waarde ''t'' die de toetsingsgrootheid aanneemt bij de steekproefuitkomst:
 
−
 
−
* Er wordt 80 keer ''6'' gegooid. Dus voor ''X'' wordt de waarde ''x=80'' gevonden
 
−
* Waargenomen waarde ''t'' is dus: ''T=t=80''.
 
−
 
−
=== Kritieke gebied ===
 
−
 
−
We verwerpen de nulhypothese voor kleine waarden van T, zeg voor T ≤ c.
 
−
De kritieke waarde c volgt uit:
 
−
 
−
:P(fout type I)=sup<sub>H<sub>0</sub></sub>P(verwerp H<sub>0</sub>) = sup<sub>H<sub>0</sub></sub> P(T =< c) =< alpha<sub>0</sub>,
 
−
 
−
waarin \alpha<sub>0</sub> de vooraf gekozen onbetrouwbaarheidsdrempel is.
 
−
Voor bijvoorbeeld \alpha_0=5% wordt dit:
 
−
 
−
:0,05 >= sup<sub>H<sub>0</sub></sub> P(T =< c) = P(Z=<(c-100)/9,13)
 
−
 
−
Waarin Z de zogenaamde Z-score is, de onder de nulhypothese gestandaardiseerde toetsingsgrootheid. Omdat voor grote steekproefomvang T ,en dus ook Z, bij benadering normaal verdeeld is, en \phi(1{,}65) = 0{,}95, volgt
 
−
 
−
:c=100 - 9,13 x 1,65 = 85,0
 
−
 
−
Zie ook [https://nl.wikipedia.org/wiki/Statistische_toets#6a._Overschrijdingskans Overschrijdingskans].
 
−
 
−
=== Conclusie ===
 
−
 
−
De gevonden waarde t=80 ligt in het kritieke gebied, dus we verwerpen de nulhypothese. Of, alternatief: de overschrijdingskans is 0,014, dus veel kleiner dan de onbetrouwbaarheidsdrempel 0,05; we verwerpen de nulhypothese.
 
  
 
== Bronnen ==
 
== Bronnen ==
−
 
−
=== Basis ===
 
  
 
* https://nl.wikipedia.org/wiki/Statistiek
 
* https://nl.wikipedia.org/wiki/Statistiek
Regel 385: Regel 183:
 
* https://nl.wikipedia.org/wiki/Kansfunctie
 
* https://nl.wikipedia.org/wiki/Kansfunctie
  
−
=== Iets specifieker ===
 
−
 
−
* https://www.youtube.com/watch?v=09kiX3p5Vek - Standard deviation
 
 
* http://nl.wikipedia.org/wiki/Verwachting_%28wiskunde%29
 
* http://nl.wikipedia.org/wiki/Verwachting_%28wiskunde%29
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value_of_sample_information
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Confidence_interval
 
−
* http://nl.wikipedia.org/wiki/Betrouwbaarheidsinterval
 
−
* http://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling
 
−
* http://nl.wikipedia.org/wiki/Verwachte_nutshypothese
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_utility_hypothesis
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_inference
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_inference
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Variance
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/68%E2%80%9395%E2%80%9399.7_rule
 
−
* https://en.wikipedia.org/wiki/Null_hypothesis
 
−
* https://nl.wikipedia.org/wiki/Hypothese_%28statistiek%29
 
−
* https://nl.wikipedia.org/wiki/Statistische_toets
 
−
* http://www.hhofstede.nl/modules/normaal.htm
 
 
* https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_trial
 
* https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_trial
−
* https://hbr.org/2016/02/a-refresher-on-statistical-significance
 
−
* http://www.personal.psu.edu/ejp10/blogs/gotunicode/2010/03/dealing-with-x-bar-x-and-p-hat.html
 
−
 
−
=== Statistiek & AdWords ===
 
−
 
−
* http://www.chadsummerhill.com/ppc-text-ad-test-statistical-validity/
 
−
* http://www.chadsummerhill.com/statistically-significant-ppc-testing-google-math/
 
−
* http://www.marketingexperiments.com/blog/practical-application/top-14-free-marketing-tools-and-resources.html
 
−
* http://www.marketingexperiments.com/images/multifiles/Data-Sample-Statistically-Valid.pdf
 
−
* http://adalysis.com/blog/working-with-statistical-significance-how-confident-should-you-be-in-your-test-results/
 
−
* http://adalysis.com/blog/how-much-data-should-you-have-before-examining-an-ad-test-result
 
−
* http://adalysis.com/blog/do-you-have-insignificant-test-results-how-to-use-maximum-data-in-ad-testing/
 
−
 
−
=== Sample size determination ===
 
−
 
−
* https://www.wikihow.com/Assess-Statistical-Significance
 
−
* https://en.wikipedia.org/wiki/Sample_size_determination
 

Huidige versie van 2 apr 2018 om 17:25

Veel operationele beslissingen rondom online marketing, zoals bij advertentiecampagnes met Google AdWords of op Amazon, hebben te maken met statistiek. In het bijzonder: Wat is statistisch significant?. Zie artikel Statistiek & online marketing - Vuistregels voor practische hulp. Dit is een inleidend artikel.

Definitie

Wat statistiek voor mij zoal betekent: 

Statistiek beschrijft fenomenen die door toeval bepaald worden

Statistiek houdt zich bezig met fenomenen die geen eenduidige 
status hebben.

Misschien wel de essentie van statistiek voor mij: Door studie van een steekproef kan ik uitspraken doen over de populatie als geheel. Da's echt heel koel: 

Statistiek houdt zich bezig met fenomenen die door het toeval
bepaald worden, door analyse van een beperkt aantal instanties
van deze fenomenen.

Statistiek beschrijft fenomenen waarvan eigenschappen of 
gebeurtenissen door het toeval worden bepaald, door analyze van
een beperkt aantal instanties van deze fenomenen.

Statistiek voorspelt het gedrag van fenomenen waarvan eigen-
schappen of gebeurtenissen door het toeval worden bepaald, door 
analyze van een beperkt aantal instanties van deze fenomenen.

Statistiek doet uitspraken over fenomenen die onderhevig zijn
aan toeval, door analyse van een beperkt aantal instanties van
die fenomenen.

Voorbeeld: Dankzij statistiek kun je iets zeggen over de populariteit van een politicus, door slechts een beperkt aantal mensen te ondervragen.

Populatie & steekproef

Statistiek poogt iets te zeggen over een populatie van fenomenen door studie van een beperkte set van deze fenomenen, namelijk een steekproef

Voorbeeld: Je wilt iets weten omtrent de populariteit van een bepaalde Nederlandse politicus. De populatie bestaat uit zo'n 16 miljoen Nederlanders. De steekproef bestaat echter uit zo'n 1.000 Nederlanders.

Fenomenen

Statistiek houdt zich bezig met fenomenen waarin toeval een rol speelt. Een paar losjes geformuleerde voorbeelden:

  • Gooien met een dobbelsteen
  • Trekken van een kaart uit een eerlijk pak speelkaarten
  • Temperatuur van een ster.

Kansexperiment

Een kansexperiment is het verkrijgen van een uitkomst van een toevalsfenomeen. Iets met realisatie ofzo. De term kansexperiment is waarschijnlijk handiger dan fenomeen. Voorbeelden:

  • Tossen met een munt - Wordt kop gegooid?
  • Gooien met een dobbelsteen - Welk getal wordt gegooid?
  • Sterren in de melkweg - Wat is de temperatuur van een gegeven ster?
  • Sterren in het universum - Wat is de temperatuur van een gegeven ster?
  • Een AdWords-campagne - Wordt er op een advertentie geklikt?
  • Een bezoeker op een site dankzij een AdWords-campagne - Converteert deze bezoeker?
  • Een electron valt terug naar een lagere baan rond een atoom, en zendt een fotoon uit.

Gebeurtenis

De uitkomst van een kansexperiment wordt een gebeurtenis genoemd. Daarnaast kent het nogal wat andere namen:

  • Alternatief [1]
  • Bemonstering
  • Event [2]
  • Evenement
  • Eventualiteit [3]
  • Experiment
  • Gebeurtenis [4]
  • Monster
  • Observatie
  • Sample
  • Sampling
  • Staal
  • Steekproef
  • Steekproefuitkomst
  • Test
  • Trial.

Daarnaast wordt met de term gebeurtenis de deelverzamelingen van de uitkomstenruimte bedoeld. Dus iets dat losstaat van eigenlijke realisatie ofzo [5].

Toeval, causualiteit & modelvorming

Men spreekt van toeval als de betreffende gebeurtenis of eigenschap niet is toe te schrijven aan een bepaalde oorzaak. Dus een gebeurtenis zonder aanwijsbaar causaal verband.

Vaak zal dit ontbrekende causale verband een kwestie zijn van context: Als ik bezoekersgedrag rondom een AdWords-campagne analyseer, is het gedrag van bezoekers wel degelijk bepaald door causaal verband, maar binnen deze context beschik ik niet over deze informatie: In de gegeven situatie is er geen informatie omtrent die causaliteit. Het fenomeen kan dus beschouwd worden als zijnde zonder aanwijzbare oorzaak.

Nu wordt het interessant: Door statistische analyse kan ik wel degelijk iets zeggen over de achterliggende causualiteit. Door bv. te split-testen kan ik achterhalen dat landing page A beter bevalt dan landing page B. Alsof ik hiermee de toeval enigszinds terugdring en de causualiteit in het gedrag van de bezoekers laat toenemen.

Een andere manier om dit te formuleren: Mede dankzij statistiek ontwikkel ik een model dat steeds accurater het gedrag van bezoekers beschrijft, en dat steeds minder gebaseerd is op ruwe geaggregeerde statistiek.

Stochastische variabele

De kern van kansexperimenten, is wellicht de stochastische variabele of stochastische grootheid. Blijkbaar is dit per definitie een getal [6]. Dus niet een categorische uitkomst zoals bij bernoulli-experimenten. De stochastische variabele wordt vaak aangeduid met

X (of x?)

Kansfunctie

Een stochastische variabele X (x?) is vastgelegd middels een bijbehorende kansfunctie p_X: 

p_X(x) = P(X=x)

Met x wordt de stochastische variabele in het algemeen bedoeld, terwijl met X een gerealiseerde waarde bedoeld wordt.

De kansfunctie px of px(x) van het werpen met een zuivere dobbelsteen is bv. gegeven door:

px(1) = P(X=1) = 1/6
px(2) = P(X=2) = 1/6
px(3) = P(X=3) = 1/6
px(4) = P(X=4) = 1/6
px(5) = P(X=5) = 1/6
px(6) = P(X=6) = 1/6.

Merk op dat een kansfunctie zoals px anders is dan een gewone wiskundige functie, omdat bij kansfuncties geen sprake is van een bepaalde input. Daarnaast is de 'output' een kans dat de input had kunnen optreden, en niet een bewerking op de input.

Voorbeeld - Tossen

Beschouw het gooien van kop met een munt:

  • Dit betreft een experiment met twee mogelijke uitkomsten
  • Uitkomst kop beschouwen we als een sucess (1). Uitkomst munt (0) beschouwen we als een mislukking
  • Dit is een Bernoulli-experiment.

Dit kansexperiment noemen we X

De bijbehorende kansfunctie:

px(1) = P(X=1) = p
px(2) = P(X=0) = 1-p

Hierbij is p de kans op succes. Alternatieve notering:

f(k;p)=
p als k=1
1-p als k=0

Verwachtingswaarde:

E(X)=p*(1) + (1-p)*(0)

Voor een zuivere munt is deze:

E(X) = (1/2)*1 + (1/2)*=0 = 1/2

Variantie:

var(X) = p(1-p) = (1/2)(1-(1/2) = 1/4

Het gemiddelde van een reeks steekproeven, wordt aangeduid met x̄ of μ [7][8]

Voorbeeld: Dobbelen

Beschouw het gooien met een zuivere dobbelsteen. Hierbij geldt:

  • x - Discrete stochastische variabele
  • Populatie of waardebereik van x is gegen door {1,2,3,4,5,6}
  • p(x) - Kansfunctie
  • P(X) - Gerealiseerde kans op een gegeven uitkomst.

De kansfunctie px of px(x) is hierbij gegeven door:

px(1) = P(X=1) = 1/6
px(2) = P(X=2) = 1/6
px(3) = P(X=3) = 1/6
px(4) = P(X=4) = 1/6
px(5) = P(X=5) = 1/6
px(6) = P(X=6) = 1/6.

De verwachtingswaarde is de sommatie van alle uitkomsten * de waarde van die uitkomst:

E(X) = sigma_overx x * px(x)
= 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + ... + 6*P(X=6) = 3,5

Bronnen

Overgenomen van "https://wiki.devliegendebrigade.nl/index.php?title=Statistiek_-_Inleiding&oldid=12105"