Statistiek - Inleiding

Veel operationele beslissingen rondom online marketing, zoals bij advertentiecampagnes met Google AdWords of op Amazon, hebben te maken met statistiek. In het bijzonder: Wat is statistisch significant?. Zie artikel Statistiek & online marketing - Vuistregels voor practische hulp. Dit is een inleidend artikel.

Definitie

Wat statistiek voor mij zoal betekent:

Statistiek beschrijft fenomenen die door toeval bepaald worden

Statistiek houdt zich bezig met fenomenen die geen eenduidige 
status hebben.

Misschien wel de essentie van statistiek voor mij: Door studie van een steekproef kan ik uitspraken doen over de populatie als geheel. Da's echt heel koel:

Statistiek houdt zich bezig met fenomenen die door het toeval
bepaald worden, door analyse van een beperkt aantal instanties
van deze fenomenen.

Statistiek beschrijft fenomenen waarvan eigenschappen of 
gebeurtenissen door het toeval worden bepaald, door analyze van
een beperkt aantal instanties van deze fenomenen.

Statistiek voorspelt het gedrag van fenomenen waarvan eigen-
schappen of gebeurtenissen door het toeval worden bepaald, door 
analyze van een beperkt aantal instanties van deze fenomenen.

Statistiek doet uitspraken over fenomenen die onderhevig zijn
aan toeval, door analyse van een beperkt aantal instanties van
die fenomenen.

Voorbeeld: Dankzij statistiek kun je iets zeggen over de populariteit van een politicus, door slechts een beperkt aantal mensen te ondervragen.

Populatie & steekproef

Statistiek poogt iets te zeggen over een populatie van fenomenen door studie van een beperkte set van deze fenomenen, namelijk een steekproef

Voorbeeld: Je wilt iets weten omtrent de populariteit van een bepaalde Nederlandse politicus. De populatie bestaat uit zo'n 16 miljoen Nederlanders. De steekproef bestaat echter uit zo'n 1.000 Nederlanders.

Fenomenen

Statistiek houdt zich bezig met fenomenen waarin toeval een rol speelt. Een paar losjes geformuleerde voorbeelden:

Gooien met een dobbelsteen
Trekken van een kaart uit een eerlijk pak speelkaarten
Temperatuur van een ster.

Kansexperiment

Een kansexperiment is het verkrijgen van een uitkomst van een toevalsfenomeen. Iets met realisatie ofzo. De term kansexperiment is waarschijnlijk handiger dan fenomeen. Voorbeelden:

Tossen met een munt - Wordt kop gegooid?
Gooien met een dobbelsteen - Welk getal wordt gegooid?
Sterren in de melkweg - Wat is de temperatuur van een gegeven ster?
Sterren in het universum - Wat is de temperatuur van een gegeven ster?
Een AdWords-campagne - Wordt er op een advertentie geklikt?
Een bezoeker op een site dankzij een AdWords-campagne - Converteert deze bezoeker?
Een electron valt terug naar een lagere baan rond een atoom, en zendt een fotoon uit.

Gebeurtenis

De uitkomst van een kansexperiment wordt een gebeurtenis genoemd. Daarnaast kent het nogal wat andere namen:

Alternatief [1]
Bemonstering
Event [2]
Evenement
Eventualiteit [3]
Experiment
Gebeurtenis [4]
Monster
Observatie
Sample
Sampling
Staal
Steekproef
Steekproefuitkomst
Test
Trial.

Daarnaast wordt met de term gebeurtenis de deelverzamelingen van de uitkomstenruimte bedoeld. Dus iets dat losstaat van eigenlijke realisatie ofzo [5].

Toeval, causualiteit & modelvorming

Men spreekt van toeval als de betreffende gebeurtenis of eigenschap niet is toe te schrijven aan een bepaalde oorzaak. Dus een gebeurtenis zonder aanwijsbaar causaal verband.

Vaak zal dit ontbrekende causale verband een kwestie zijn van context: Als ik bezoekersgedrag rondom een AdWords-campagne analyseer, is het gedrag van bezoekers wel degelijk bepaald door causaal verband, maar binnen deze context beschik ik niet over deze informatie: In de gegeven situatie is er geen informatie omtrent die causaliteit. Het fenomeen kan dus beschouwd worden als zijnde zonder aanwijzbare oorzaak.

Nu wordt het interessant: Door statistische analyse kan ik wel degelijk iets zeggen over de achterliggende causualiteit. Door bv. te split-testen kan ik achterhalen dat landing page A beter bevalt dan landing page B. Alsof ik hiermee de toeval enigszinds terugdring en de causualiteit in het gedrag van de bezoekers laat toenemen.

Een andere manier om dit te formuleren: Mede dankzij statistiek ontwikkel ik een model dat steeds accurater het gedrag van bezoekers beschrijft, en dat steeds minder gebaseerd is op ruwe geaggregeerde statistiek.

Stochastische variabele

De kern van kansexperimenten, is wellicht de stochastische variabele of stochastische grootheid. Blijkbaar is dit per definitie een getal [6]. Dus niet een categorische uitkomst zoals bij bernoulli-experimenten. De stochastische variabele wordt vaak aangeduid met

X (of x?)

Kansfunctie

Een stochastische variabele X (x?) is vastgelegd middels een bijbehorende kansfunctie p_X:

p_X(x) = P(X=x)

Met x wordt de stochastische variabele in het algemeen bedoeld, terwijl met X een gerealiseerde waarde bedoeld wordt.

De kansfunctie p_x of p_x(x) van het werpen met een zuivere dobbelsteen is bv. gegeven door:

p_x(1) = P(X=1) = 1/6

p_x(2) = P(X=2) = 1/6

p_x(3) = P(X=3) = 1/6

p_x(4) = P(X=4) = 1/6

p_x(5) = P(X=5) = 1/6

p_x(6) = P(X=6) = 1/6.

Merk op dat een kansfunctie zoals p_x anders is dan een gewone wiskundige functie, omdat bij kansfuncties geen sprake is van een bepaalde input. Daarnaast is de 'output' een kans dat de input had kunnen optreden, en niet een bewerking op de input.

Voorbeeld - Tossen

Beschouw het gooien van kop met een munt:

Dit betreft een experiment met twee mogelijke uitkomsten
Uitkomst kop beschouwen we als een sucess (1). Uitkomst munt (0) beschouwen we als een mislukking
Dit is een Bernoulli-experiment.

Dit kansexperiment noemen we X

De bijbehorende kansfunctie:

p_x(1) = P(X=1) = p

p_x(2) = P(X=0) = 1-p

Hierbij is p de kans op succes. Alternatieve notering:

f(k;p)=

p als k=1

1-p als k=0

Verwachtingswaarde:

E(X)=p*(1) + (1-p)*(0)

Voor een zuivere munt is deze:

E(X) = (1/2)*1 + (1/2)*=0 = 1/2

Variantie:

var(X) = p(1-p) = (1/2)(1-(1/2) = 1/4

Het gemiddelde van een reeks steekproeven, wordt aangeduid met x̄ of μ [7][8]

Voorbeeld: Dobbelen

Beschouw het gooien met een zuivere dobbelsteen. Hierbij geldt:

x - Discrete stochastische variabele
Populatie of waardebereik van x is gegen door {1,2,3,4,5,6}
p(x) - Kansfunctie
P(X) - Gerealiseerde kans op een gegeven uitkomst.

De kansfunctie p_x of p_x(x) is hierbij gegeven door: